Category Theory범주 이론

범주 C는 다음으로 구성:
  Ob(C) : 대상(Object)들의 모임
  Mor(C): 사상(Morphism/Arrow)들의 모임

각 사상 f: A → B 에 대해:
  - 합성: g ∘ f (f 후 g)
  - 항등 사상: id_A : A → A

법칙:
  결합법칙: (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f)
  항등법칙: id_B ∘ f = f = f ∘ id_A

-- Hask 범주: Haskell 타입과 함수
-- 대상: 타입 (Int, String, ...)
-- 사상: 함수 (a -> b)
-- 합성: (.)
-- 항등: id

(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> (a -> c)
(g . f) x = g (f x)

-- 법칙 확인
(h . g) . f == h . (g . f)  -- 결합법칙
id . f == f                   -- 왼쪽 항등
f . id == f                   -- 오른쪽 항등

class Functor f where
  fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

-- 함자 법칙:
-- fmap id = id
-- fmap (g . f) = fmap g . fmap f

-- 예: Maybe 함자
fmap (+1) (Just 3)  -- Just 4
fmap (+1) Nothing   -- Nothing

-- α : F ⇒ G
-- 자연 변환 조건: α_B ∘ F(f) = G(f) ∘ α_A

-- 예: safeHead :: [a] -> Maybe a
safeHead :: [a] -> Maybe a
safeHead []    = Nothing
safeHead (x:_) = Just x

모나드 = 자기 함자 범주 위의 모노이드

모나드 T의 구조:
  η : Id → T       (unit/return)
  μ : T∘T → T     (join/flatten)

법칙:
  μ ∘ Tη = id_T = μ ∘ ηT  (단위원)
  μ ∘ μT = μ ∘ Tμ          (결합)